DISEGNARE UNA PARABOLA

Prima di procedere con la descrizione dei passaggi necessari al disegno di una generica parabola analizziamo la relativa definizione: “La parabola è il luogo geometrico dei punti equidistanti da una retta detta direttrice e da un punto fisso detto fuoco.”

Questo dettato è ciò che indica quale insieme di punti nel piano costituiscano la figura: tutti quei punti che hanno uguale distanza dal fuoco e dalla direttrice:

Ovviamente volendo disegnare una parabola con asse di simmetria parallelo all’asse y non è possibile avvalerci di questa regola. Si ricorre quindi alla determinazione di una serie di punti fondamentali che fungeranno da guida nel tracciare il grafico.

Individuare il Vertice:
Xv = -b / (2a)
Yv = si sostituisce Xv nell’equazione della parabola e si trova la relativa Y. In alternativa si applica la formula Yv= – (b^2 – 4ac) / (4a)

Il risultato è un punto che costituisce il vertice della parabola : V ( Xv ; Yv)

Individuare il punto d’incontro della parabola con l’asse delle ascisse:
Si impone il valore di y = 0 e si risolve l’equazione di secondo grado che ne consegue: 0 = ax^2 + bx + c

a. Nel caso siano presenti tutti i coefficienti “a, b, c” la soluzione si effettua tramite la formula risolutiva x1,2 = [- b±√(b^2-4ac)]/(2a)

facendo attenzione al valore del delta, in quanto:

Se ∆ > 0 ci sono due punti d’ incontro con l’asse x
Se ∆ = 0 c’è un solo punto di tangenza
Se ∆ < 0 non ci sono punti di incontro con l’asse x.

b. Nel caso manchi il coefficienti “b” , occorre portare il termine noto dall’altra parte dell’uguale e farne la radice. I valori trovati saranno due numeri di segno opposto. Questi sono i due punti d’ incontro con l’asse x.

c. Nel caso manchi il coefficienti “c”, occorre raccogliere la x e risolvere le due equazioni nate dal raccoglimento. Un punto di incontro sarà sempre x = 0 , l’altro è frutto della soluzione della seconda equazione.

Individuare il punto di incontro con l’asse y:
Si impone il valore di x = 0 e si risolve l’equazione che ne deriva, il risultato sarà sempre y = c.

La parabola taglia l’asse delle ordinate ad altezza del termine noto (c) .

Individuare il verso:
Se a (il coefficienti di x^2) è positivo la parabola è concava (rivolta in su).
Se a è negativo la parabola è convessa (rivolta in giù)

Disegnare l’asse di simmetria:
L’asse di simmetria è una retta di equazione x = -b / (2a). E’ quindi una retta che passa per il vertice ed è parallela all’asse y.

Individuare il Fuoco:

Xf =  -b / (2a)
Yf = (1 – b^2-4ac)/(4a)

Il risultato è un punto che costituisce il fuoco della parabola : F ( Xf ; Yf)

Tracciare la Direttrice:

La direttrice è una retta parallela all’asse x . Essa ha equazione

y = – (1+b^2-4ac)/(4a)

Si danno due valori a piacere alla x e si trova la corrispondente y.
Dei punti trovati occorre sul grafico riportare i punti simmetrici rispetto all’asse di simmetria.